高一数学上学期单元测试（3）
[新课标人教版] 空间几何体（必修2第一章）
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并收回。
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面 （ ）
A．必定都不是直角三角形 B．至多有一个直角三角形
C．至多有两个直角三角形 D．可能都是直角三角形
2．如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为 （ ）
A．模块①，②，⑤ B．模块①，③，⑤
C．模块②，④，⑥ D．模块③，④，⑤
3．对棱柱叙述正确的是 （ ）
A．底面一定是正方形，其它侧面是矩形
B．几何体都是平行四边形
C．仅有一组平面平行的几何体
D．有一组全等多边形平行，其余各面是平行四边形
4．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 （ ）
A． B． C． D．
5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为４５ｏ，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，一个封闭的立方体，它的
六个表面各标有A,B,C,D,E,F
这六个字母之一，现放置成如
图的三种不同的位置，则字母
A,B,C对面的字母分别为（ ）
A．D ,E ,F B． F ,D ,E
C．E, F ,D D．E, D,F
7．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是 （ ）
A．9π B．10π
C．11π D．12π
8．平面α外的一侧有一个三角形，三个顶点到平面α
的距离分别是７、９、１３，则这个三角形的重心
到平面α的距离为 （ ）
9．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四
个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，
则 （ ）
A．以上四个图形都是正确的
B．只有（２）（４）是正确的
C．只有（４）是错误的
D．只有（１）（２）是正确的
10．将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，
这个正四面体的高的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 （ ）
A．①③ B．②③④ C．③④ D．②④
12．将正三棱柱截去三个角（如图1所示 分别是 三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为 （ ）
第Ⅱ卷
二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.
13． 是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若 的面积为 ，那么△ABC的面积为_______________.
14．正四面体ＡＢＣＤ的棱长为１，棱ＡＢ∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .
15．如右图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，
∠ACB＝９０°，AC＝6，BC＝CC1＝ ， P是BC1上
一动点，则CP＋PA1的最小值为 .
16．一个密闭的透明正方体容器内装有一半体积的溶液，任意转动
容器，则溶液表面可以是：①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；
⑤正六边形。其中正确的序号是是： .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分).
17．（12分）过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA、MB、MC.
（1）求证：MA2+MB2+MC2为定值;
（2）求三棱锥M－ABC的体积的最大值.
18．（12分）如图，一个多面体的底是边长为4的等边△ABC， 、 、 都垂直于面ABC，且 ， ， .求这个多面体的体积V.
19．（12分）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为 ，求圆台的体积与球体积之比？.
20．（12分）４个半径为１的中球上层１个、下层３个两两相切叠放在起.
（1）有１个空心大球能把４个中球装在里边，求大球的半径至少多少；
（2）在它们围成的空隙内有１个小球与这４个中球都外切，求小球的半径.
21．（12分）某人买了一罐容积为Ｖ升、高为a米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b、c的地方（单位：米）.为了减少罐内液体油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家.试问罐内液体油最理想的估计能剩多少？
22．（14分）如图所示，在正三棱锥S—ABC中，过底面顶点B和侧棱SA、SC上的E、F点作一截面BEF和侧面SAC垂直.
（1）若E、F分别为SA、SC中点时，求此三棱锥的侧面积与底面积之比；
（2）若AB=8，斜高h′= ，求截面BEF的面积.
参考答案
一、选择题
1．D；提示：对于三棱锥P－ABC，当PA 面ABC，CB 面PAB；
2．A；提示：按照实际情况折叠图形，注意重合情况；
3．D；提示：按照棱柱的定义区分，也就是区分各底和各侧面；
4．A；提示：半圆的弧长对应底面圆的周长，可得 ，再处理即可；
5．A；提示：按照斜二测画法的对应法则，该图形对应一个上、下底边长为1、 ，高为2的直角梯形；
6．D；提示：可借助现有几何体标记演示；
7．D；提示：求组合体的表面积，它有半径为1的球和底面半径为1、高为3的圆柱组成；
8．A；提示：其一，作辅助平面 ，难以考虑到。其二，若Ａ、Ｂ、Ｃ三点在平面的异侧作图形更难。
9．C；提示：在同一平面上的所有顶点不能过球心，因为正四面体和球共中心；
10．C；提示：把４个钢球的球心连结起来构成棱长为２的正四面体Ｏ１Ｏ２Ｏ３Ｏ４，点Ｏ是底面△Ｏ２Ｏ３Ｏ４的中心，Ｅ，Ｆ分别是Ｏ３Ｏ４和ＢＣ的中点，过Ｏ作ＯＬ⊥ＡＦ于Ｌ，交Ｏ１Ｅ于Ｈ。
11．C；提示：正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上，所以①②不正确，根据射影的性质E、F、G、三点在平面ABC内的射影形状如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示；
12．A；提示：解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙)，可得答案A；
二、填空题
13． ；提示：通过画直观图还原实际图像即可；
14．[ ]；提示：当ＣＤ∥α时，面积取最大值，再由对称性处理最小值；
15． ；提示：将△ＢＣＣ１沿ＢＣ１线展到面A1C1Ｂ上，如上右图，连结Ａ１Ｃ，Ａ１Ｃ即为ＣＰ＋PA1最小值；
16．②、③、④、⑤；提示：注意正方体中体积最大的三棱锥（譬如正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥A1－ABC）的体积为 ；
三、解答题
17．（1）证明：以相互垂直的三条弦MA，MB，MC为棱作长方体，则该长方体的八个顶点都在球面上，并且该长方体的体对角线长为球的直径.
∴MA2+MB2+MC2=4R2（定值）.……………………6分
（2）解：VM-ABC=VC-AMB= ×MC• MA•MB= MA•MB•MC= ≤
= = × • = R3.
当且仅当MA=MB=MC= R时，
VM-ABC最大= R3. ……………………12分
18．解法1：过 作与底面ABC平行的截面 。易知等边△ABC的高为 ，面积为 ，则
………………12分
解法2：连结 ， ，则
…………12分
解法3：在原几何体上方补上一个相同的几何体（图2），
使成为正三棱柱，即AA′=BB′=CC′=6。
易得三棱柱体积为 ，
从而所求的 。………………12分
19．解：如图，是圆台和半球的截面图，设球的半径为R，
由题中已知条件可得OB＝OC＝BC＝R，CE＝ ，
CD＝R，………………4分
于是圆台的体积为：
V圆台＝ ，………………8分
又球的体积V球＝ πR3，所以 ………………12分
20．（1）连结４个中球的球心得到棱长为2的正四面体（直观图略），
它的外接球的半径长 ，因此大球的半径至少为 ＋１；………………6分
（2）该小球的半径是最小大球的半径减去一个中球的直径长２，
即为 －１。………………12分
21．解：如图，设直三棱柱为ABC一A1B1C1，破损处为M、N，
且MB=b，CN=c.罐内所剩汽油的最大量应是几何体A1MN—ABC
的容量或几何体AMN—A1B1C1的容量.
连结MA、MC，设h是BB1与面AC1的距离，侧棱AA1=a，V =V , =
= = .
而V = V,故V = V.
这样V = V. ………………6分
∵ = = ,而V = V,故V = V.
∴ = + = V+ V= V.
同理可求得V = V.
故最理想的估计罐内剩下汽油：
max{ V, V}.………………12分
22．解：(1)在正三棱锥S—ABC中，E、F分则为SA、SC的中点，
∴SE=SF，∠ESB=∠FSB，
∴△SEB≌△SFB.∴BE=BF，
连结EF，设G为EF的中点，连BG，则BG⊥EF，
又平面BEF⊥平面SAC，
∴BG⊥平面SAC，连结SG，从而BG⊥SG，
延长SG交AC于D，
连BD，则D为AC的中点,G为SD的中点。
∴BD=SB。………………4分
设正△ABC边长为a，
则SA=SB＝SC＝BD＝ a,SD= = a，
∴S侧=3S△ASC= a2,S底= .∴S侧：S底= a。………………9分
（2）由(1)知，设O为S在底面上的射影，则
∵BD=4 ，∴OD= .而SD＝ ，
∴cos∠SDB= .∴∠SDB=60°.
∴GD=2 ，BG=6,SG= .
又 = = ，∴EF=2，S截面BEF=6………………14分
石家庄家教：找启航家教中心-启航家教网，微信/电话：159-0203-8323 孙老师
石家庄家教区域：萝岗区家教 越秀区家教 海珠区家教 天河区家教 白云区家教 荔湾区家教 黄埔区家教 番禺区家教 花都区家教 南沙区家教 从化市家教 增城市家教
其它地区： 番禺市桥家教 番禺大石家教 番禺石基家教 番禺石楼家教 番禺南村家教 番禺钟村家教 番禺沙湾家教 番禺新造家教 番禺大岗家教 番禺榄核家教 番禺洛溪家教 荔湾区芳村家教 天河区岑村家教 萝岗区开发区家教 天河公园家教 番禺区南站家教 天河区棠东家教 番禺区祈福新村家教 海珠区鹭江家教 海珠区南岸路家教 白云区罗冲围家教 天河区林和东路家教 海珠区晓港家教 海珠区盈丰路家教 天河区五山家教 海珠区滨江东路家教 天河区汇景新城家教 天河区员村家教 越秀区动物园家教 海珠区石家庄大道南家教 越秀区五羊新城家教 越秀区东山口家教 天河区天河城家教 越秀区环市东路家教 越秀区黄花岗家教 芳村花园家教 白云区机场东路家教 天河区燕塘家教 海珠区棠下家教 锦绣云湾家教 越秀区盘福路家教 天河区华鼎新城家教 海珠区工业大道家教 番禺区锦绣香江家教 海珠区同福路家教 荔湾区黄沙大道家教 天河区龙都花园家教 天河区珠江苑家教 荔湾区陈家祠家教 越秀区花地湾家教 萝岗区博罗新村家教 越秀区石家庄大道中家教 海珠区金星花园家教 天河区冼村家教 海珠区客村家教 白云区人和地铁站家教 海珠区金逸花园家教 天河区骏景花园家教 荔湾区龙津中路家教 天河区富力公园家教 天河区沙河顶家教 越秀区雅景园家教 黄浦大沙地家教 天河石牌家教 海珠新港西家教 越秀小北家教 天河体育中心家教 天河岗顶家教 海珠赤岗家教 天河珠江新城家教 番禺启航家教 荔湾西村家教 天河车陂家教
学校：暨南大学家教 中山大学家教 华南理工大学家教 华南师范大学家教 广东工业大学家教 石家庄大学家教 广东金融学院家教 华南农业大学家教 广东广播电视大学家教 广东外语外贸大学家教 石家庄美术学院家教 石家庄中医药大学家教 石家庄医学院家教 第一军医大学家教 私立华联学院家教 广东建华职业学院家教 广东轻工职业技术学院家教 民办培正商学院家教 广东技术师范学院家教 石家庄体育学院家教 广东商学院家教 广东药学院家教 广东医学院家教 仲恺农业技术学院家教 民办南华工商学院家教 广东松山职业技术学院家教 广东第二师范学院家教 嘉应学院家教 南方医科大学家教 广东财经大学家教
科目：数学家教 语文家教 物理家教 化学家教 英语家教 历史家教 地理家教 政治家教 钢琴家教 美术家教 书法家教 网球家教 日语家教 托福家教 雅思家教 计算机家教 韩语家教 奥数家教 吉他家教 围棋家教 英语口语家教 法语家教 德语家教 成人家教 外教家教 幼儿家教 作文家教
编辑者：石家庄家教（石家庄家教网)
